Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ex²+mx+1，g（x）=$\frac{{lnx+{2^{-1}}}}{{{e^{2x}}}}$．
（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1-2e）x-y+4=0平行，求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），若$\frac{{g（{x_1}）-{f^'}（{x_2}）}}{{{e^{x_1}}-1}}$＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得m=0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由题意可得g（x₁）的最大值＜f′（x₂）的最小值，求出g（x）的导数，求得单调区间，可得最大值，求出f（x）的导数，配方可得f′（x）的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2ex+m，∵f′（1）=1-2e+m=1-2e，∴m=0
即f′（x）=x²-2ex=x（x-2e），令f′（x）≥0，解得x≥2e或x≤0
所以函数f（x）的单调增区间为[2e，+∞），（-∞，0]，单调减区间为（0，2e）．
（2）$\frac{{g（{x_1}）-{f^'}（{x_2}）}}{{{e^{x_1}}-1}}＜0$，即$g（{x_1}）＜{f^'}（{x_2}）$恒成立，故$g{（x）_{max}}＜{f^'}{（x）_{min}}$
∵$g（x）=\frac{{lnx+{2^{-1}}}}{{{e^{2x}}}}$，${g^'}（x）=\frac{{\frac{1}{x}{e^{2x}}-2（lnx+{2^{-1}}）{e^{2x}}}}{{{{（{e^{2x}}）}^2}}}=\frac{{\frac{1}{x}-2lnx-1}}{{{e^{2x}}}}$
有g′（1）=0，且x∈（0，1），g′（x）＞0，x∈（1，+∞），g′（x）＜0
∴g（x）在x=1处取极大值即最大值，$g{（x）_{max}}=g（1）=\frac{1}{{2{e^2}}}$f′（x）=x²-2ex+m=（x-e）²+m-e²，${f^'}{（x）_{min}}=m-{e^2}$．
∵$g（{x_1}）＜{f^'}（{x_2}）$恒成立，$\frac{1}{{2{e^2}}}＜m-{e^2}$，故$m＞{e^2}+\frac{1}{{2{e^2}}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值问题，属于中档题．