Question

13．若函数f（x）=alnx-x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 通过解f′（x）求单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=alnx-x，∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-1．
又∵f（x）在（1，2）上单调递增，
∴$\frac{a}{x}$-1≥0在x∈（1，2）上恒成立，
∴a≥x_max=2，∴a∈[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）

点评 已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，则可得f′（x）≤0．