Question

18．过平面区域$\left\{\begin{array}{l}{4x-y+3\sqrt{2}≥0}\\{y+\sqrt{2}≥0}\\{x+y+\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$内一点P作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则α的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 先依据不等式组$\left\{\begin{array}{l}{4x-y+3\sqrt{2}≥0}\\{y+\sqrt{2}≥0}\\{x+y+\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置，最后利用二倍角公式计算即可

解答 解：不等式组表示的平面区域如图，当P离圆O最远时α最小，
此时点P坐标为：（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
记∠APO=β，则α=2β，
则sinβ=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{1}{2}$，
则cosα=cos2β=1-2sin²β
=1-2×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
所以α的最小值为$\frac{π}{3}$；
故选：B

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．