Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-4x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-4x两个根是1，3，由韦达定理求得b=-4a-4，c=3a，可得f（x）=ax²-4（a+1）x+3a．再根据△=16（a+1）²-36a²=0，解得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由题意可得

12a2-16(a+1)2

4a

＞0，再由a＜0可得 a²+8a+4＞0，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-4x两个根是1，3，
即ax²+（b+4）x+c=0两个根是1，3，故由韦达定理可得-

b+4

a

=4，

c

a

=3，∴b=-4a-4，c=3a，f（x）=ax²-4（a+1）x+3a．
再根据方程f（x）+6a=0，即ax²-4（a+1）x+9a=0有两个相等的实根，∴△=16（a+1）²-36a²=0，解得a=-

2

5

，
∴f（x）=-

2

5

x²-

12

5

x-

6

5

．
（2）由于f（x）=ax²-4（a+1）x+3a 的最大值为正数，可得

12a2-16(a+1)2

4a

＞0，即

a2+8a+4

a

＜0，
再由a＜0可得 a²+8a+4＞0，求得 a＜-4-2

3

，或-4+2

3

＜a＜0，
即a的范围是：{a|a＜-4-2

3

，或-4+2

3

＜a＜0 }．

点评：本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．