Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

在闭区间[0，

π

2

]上的最大值是1，则a=

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：分类讨论,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：将已知解析式变形为f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-cos²x+acosx+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

5a

8

+

a2

4

-

1

2

，x∈[0，

π

2

]，则cosx∈[0，1]，利用换元法将问题转化为二次函数的问题解答．

解答： 解：f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-cos²x+acosx+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

5a

8

+

a2

4

-

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]，设cosx=t，则t∈[0，1]，
所以f（t）=-（t-

a

2

）²+

5a

8

+

a2

4

-

1

2

，在[0，1]上的最大值为1，
当0＜

a

2

＜1，f（t）_max=f（

a

2

）=

5a

8

+

a2

4

-

1

2

=1，解得a=-4（舍去）或a=

3

2

；
当

a

2

≥1时，f（t）_max=f（1）-（1-

a

2

）²+

5a

8

+

a2

4

-

1

2

=1，解得a=

20

13

＜2舍去；
当

a

2

≤0时，f（t）_max=f（0）=-（0-

a

2

）²++

5a

8

+

a2

4

-

1

2

=1，解得a=

12

5

，舍去；
综上a=

3

2

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想．