Question

已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sin x-cosx．
（1）求当x∈[

5

2

π，3π]时f（x）的解析式．
（2）求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）当x∈[

5

2

π，3π]时，3π-x∈[0，

π

2

]，结合已知和函数的周期性和奇偶性可得；（2）易得当x∈[-

π

2

，0]时，f（x）=-sinx-cosx，可求在∈[-

π

2

，

π

2

]一个周期内满足f（x）＜0的x范围，由周期性可得．

解答： 解：（1）当x∈[

5

2

π，3π]时，3π-x∈[0，

π

2

]，
又∵x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx-cosx，
∴f（3π-x）=sin（3π-x）-cos（3π-x）=sinx+cosx，
又∵f（x）是以π为周期的偶函数，
∴f（3π-x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）=sinx+cosx，x∈[

5

2

π，3π]．
（2）当x∈[-

π

2

，0]时，-x∈[0，

π

2

]，
∴f（-x）=sin（-x）-cos（-x）=-sinx-cosx，
由偶函数可得f（-x）=f（x），
∴当x∈[-

π

2

，0]时，f（x）=-sinx-cosx，
∴在∈[-

π

2

，

π

2

]一个周期内满足f（x）＜0的x范围为-

π

4

＜x＜

π

4

∴不等式f（x）＜0的解集为{x|kπ-

π

4

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}

点评：本题考查三角函数的周期性和奇偶性，属基础题．