Question

函数y=f（x）是定义在R上的函数，对任意实数x、y满足f（x）+f（y-x）=f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．若对任意t∈（1，2），f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立，求x的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由条件f（x）+f（y-x）=f（y），得出f（y-x）=f（y）-f（x），利用此恒等式推导函数为奇函数及单调递减函数，利用辩证思维，把t当自变量，x为常量解题，这样就把以x为自变量的复杂函数变成以t为自变量的一次函数处理，使问题简单化．

解答： 解：∵f（x）+f（y-x）=f（y），∴f（y-x）=f（y）-f（x），
令y=x代入上式得f（0）=f（x）-f（x），∴f（0）=0，
f（-x）=f（0-x）=f（0）-f（x）=0-f（x）=-f（x），∴f（x）为R上的奇函数．
设x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）为R上的减函数，
∴f（tx²-2x）＜f（t+2）可化为tx²-2x＞t+2，
∴tx²-2x-t-2＞0，∴（x²-1）t-2x-2＞0，
若对任意t∈（1，2），f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立，即对任意t∈（1，2），（x²-1）t-2x-2＞0，
令g（t）=（x²-1）t-2x-2，且g（t）是关于t的一次函数，
∴对任意t∈（1，2），g（t）＞0，
∴①当x=1时，g（t）=-4，不满足g（t）＞0，
②当x=-1时，g（t）=0，不满足g（t）＞0，
③当x²＞1时，即当x＜-1，或x＞1时，g（t）在（1，2）上递增，
∴g（1）＞0，即x²-2x-3＞0，解得x＜-1，或x＞3，
故当x²＞1时，x的范围为x＜-1，或x＞3，
④当x²＜1时，即当-1＜x＜1时，g（t）在（1，2）上递减，
∴g（2）＞0，即2x²-2x-4＞0，解得x＜-1，或x＞2，
故当x²＜1时，x的范围为Φ，
综上①②③④x的范围为x＜-1，或x＞3，

点评：本题主要考查抽象函数的性质，也就是利用所给的函数的恒等式推导函数所具备的性质；另外，函数表达式中含有两个变量时，选择哪一个为自变量使问题简单化尤为重要．