Question

8．给出下列命题
①函数f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的图象关于x=π对称的图象的函数解析式为y=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）；
②函数f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{x}$在定义域上是增函数；
③函数f（x）=|log₂x|-（$\frac{1}{2}$）^x在（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
其中真命题的个数有（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 直接求出函数f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的图象关于x=π对称的图象的函数解析式判断①；利用导数研究函数的单调性判断②；画图说明③正确．

解答 解：①由f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），设其图象关于x=π对称的图象的函数解析式为y=g（x），
设g（x）上一点（x，y），它关于x=π的对称点是（2π-x，y），这个对称点必然在f（x）上，
∴y=sin（$\frac{2π-x}{2}+\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}$），故①正确；
②函数f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{x}$=$（x-1）^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{x}$的定义域为[1，+∞），
且f′（x）=$\frac{1}{2}（x-1）^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵（x-2）²≥0，∴x²≥4x-4，即x≥$2\sqrt{x-1}$，
又当x≥1时，x²≥x，∴${x}^{2}≥2\sqrt{x-1}$，∴f′（x）=$\frac{1}{2}（x-1）^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，
函数f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{x}$在定义域上是增函数，故②正确；
③画出函数函数g（x）=|log₂ x|-（$\frac{1}{2}$）^x在（0，+∞）的图象：
上恰有两个零点x₁，x₂．
不妨设x₁＜x₂．
则0＜x₁＜1＜x₂．
-log₂x₁=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$，log₂x₂=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$．
∴log₂（x₁x₂）=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}-（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$＜0，
∴x₁•x₂＜1，故③正确．
∴正确的命题的个数是3．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的图象和性质，训练了利用导数研究函数的单调性，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．