Question

17．以下结论正确的是（　　）

• A． 一个圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为6和4的长方形，则这个圆柱的体积一定是等于$\frac{36}{π}$
• B． 命题“?x₀∈R，x₀²+x₀-1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x-1＞0”
• C． 若ω≠0时，“φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件
• D． 已知⊙O：x²+y²=r²，定点P（x₀，y₀），直线l：x₀x+y₀y=r²，若点P在⊙O内，则直线l与⊙O相交

Answer 1

分析 求出母线长为6，底面周长为4时的圆柱体积判断A；写出命题的否定判断B；由充分必要条件的判定方法判断C；由已知求出原点到直线的距离，比较与半径的关系判断D．

解答 解：当母线长为6时，圆柱的底面周长为2πr=4，r=$\frac{2}{π}$，则圆柱的体积V=$π×（\frac{2}{π}）^{2}×6=\frac{24}{π}$，故A错误；
命题“?x₀∈R，x₀²+x₀-1＜0”的否定是“?x∈R，x²+x-1≥0”，故B错误；
ω≠0，由φ=kπ+$\frac{π}{2}$，得f（x）=sin（ωx+φ）=sin（ωx+kπ+$\frac{π}{2}$）=cos（ωx+kπ）=±cosωx，f（x）为偶函数，
反之，若函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数，则f（x）-f（-x）=0，即sin（ωx+φ）-sin（-ωx+φ）=0，
∴2cosφ•sinωx=0，则φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），故若ω≠0时，“φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件；
由点P在⊙O内，得${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＜{r}^{2}$，而原点O到直线l：x₀x+y₀y=r²的距离d=$\frac{{r}^{2}}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}＞r$，∴直线l与⊙O相离，故D错误．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生对基础知识的综合运用与掌握，属中档题．