Question

20．已知a，b均为正数，且ab-a-2b=0，则$\frac{a^2}{4}-\frac{2}{a}+{b^2}-\frac{1}{b}$的最小值为7．

Answer 1

分析 a，b均为正数，且ab-a-2b=0，可得$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=1．于是$\frac{a^2}{4}-\frac{2}{a}+{b^2}-\frac{1}{b}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²-1.$\frac{a}{2}$+b=$（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）$$（\frac{a}{2}+b）$=$\frac{2b}{a}+\frac{a}{2b}$+2≥4，再利用柯西不等式（$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²）（1+1）≥$（\frac{a}{2}+b）^{2}$即可得出．

解答 解：∵a，b均为正数，且ab-a-2b=0，∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=1．
则$\frac{a^2}{4}-\frac{2}{a}+{b^2}-\frac{1}{b}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²-1．
$\frac{a}{2}$+b=$（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）$$（\frac{a}{2}+b）$=$\frac{2b}{a}+\frac{a}{2b}$+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．
∴（$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²）（1+1）≥$（\frac{a}{2}+b）^{2}$≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．
∴$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²≥8，
∴$\frac{a^2}{4}-\frac{2}{a}+{b^2}-\frac{1}{b}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²-1≥7．
故答案为：7．

点评 本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．