Question

19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c-a=2bcosA．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c-a，可得（2cosB-1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，解出12=a²+c²-ac．再利用基本不等式得出结论．

解答 解：（1）∵2c-a=2bcosA，
∴根据正弦定理，得2sinC-sinA=2sinBcosA，
∵A+B=π-C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，
∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA-sinA，
化简得（2cosB-1）sinA=0
∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB-1=0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得12=a²+c²-ac．
∴（a+c）²-3ac=12，∴12≥（a+c）²-$\frac{3}{4}$ac，（当且仅当a=c=2$\sqrt{3}$时）
∴a+c≤4$\sqrt{3}$，
∴a+c的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题着重考查了正余弦定理、两角和与差的三角函数公式和诱导公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．