题目内容

3．已知复数z=1+i，其中i为虚数单位，则复数1+z+z2+…+z2017的实部为（　　）
A．1B．-1C．21009D．-21009

分析 利用等比数列的前n项和列式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答 解：∵z=1+i，
∴1+z+z2+…+z2017=$\frac{1×（1-{z}^{2018}）}{1-z}=\frac{{z}^{2018}-1}{z-1}$
=$\frac{（1+i）^{2018}-1}{1+i-1}=\frac{（2i）^{1009}-1}{i}$=$\frac{（-1+{2}^{1009}i）（-i）}{-{i}^{2}}={2}^{1009}+i$．
∴复数1+z+z2+…+z2017的实部为21009．
故选：C．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．

练习册系列答案
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