Question

18．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=$\frac{3}{2}$且2S_n-S_n-1=n²+3n-1（n≥2），则a_n=2n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 2S_n-S_n-1=n²+3n-1（n≥2），可得S_n+a_n=n²+3n-1，n≥2时，S_n-1+a_n-1=（n-1）²+3（n-1）-1，相减可得：2a_n-a_n-1=2（n+1）．变形为：a_n-2n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-2（n-1）]．再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵2S_n-S_n-1=n²+3n-1（n≥2），
∴S_n+a_n=n²+3n-1，
n≥2时，S_n-1+a_n-1=（n-1）²+3（n-1）-1，
相减可得：2a_n-a_n-1=2（n+1）．
变形为：a_n-2n=$\frac{1}{2}$[a_n-1-2（n-1）]．
∴数列{a_n-2n}是等比数列，首项为-$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n-2n=$-\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
可得a_n=2n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案为：2n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．