Question

已知函数f（x）=（

x-1

x+1

）²（x＞1）．
（1）求函数的反函数；
（2）若不等式（1-

x

）f^-1（x）＞m（m-

x

）对[

1

4

，

1

2

]上的每一个x值都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：反函数,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得

x-1

x+1

=

y

，整理，得x=

1+ y

1- y

，x，y互换，得函数的反函数．
（2）由已知得1+

x

＞m（m-

x

）成立，需f(

1

2

)＞0且f(

2

2

)＞0，解得-1＜m＜

3

2

．由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=y=（

x-1

x+1

）²，x＞1，
∴

x-1

x+1

=

y

，整理，得x=

1+ y

1- y

，
x，y互换，得y=

1+ x

1- x

，0＜x＜1，
∴函数的反函数f-1(x)=

1+ x

1- x

(0＜x＜1)
（2）欲使不等式（1-

x

）f^-1（x）＞m（m-

x

）对[

1

4

，

1

2

]上的每一个x值都成立，
即1+

x

＞m（m-

x

）成立，
令

x

=t，

1

2

≤t≤

2

2

，即1+t＞m(m-t)在[

1

2

，

2

2

]成立，令f(t)=(1+m)t+1-m2，
则需f(

1

2

)＞0且f(

2

2

)＞0，解得-1＜m＜

3

2

．
∴实数m的取值范围是（-1，

3

2

）．

点评：本题考查反函数的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．