Question

已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成的角为30°．
（1）求证：BC⊥PQ；    
（2）若AC=2，求二面角B-AC-P的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间角

分析：（1）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．利用面面垂直的性质可得：CO⊥α，由CA=CB，可得OA=OB．从而BO⊥PQ，利用线面垂直的判定可得PQ⊥平面OBC．再利用线面垂直的性质定理即可得出．
（2）由（1）知，BO⊥PQ，利用面面垂直的性质可得BO⊥β．过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，可得∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答： 解：（1）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．
∵α⊥β，α∩β=PQ，
∴CO⊥α，
又∵CA=CB，∴OA=OB．
而∠BAO=45°，∴∠ABO=45°，∠AOB=90°，
从而BO⊥PQ，又BO∩OC=O，
∴PQ⊥平面OBC．
又BC?平面OBC，
故PQ⊥BC．
（2）由（1）知，BO⊥PQ，
又α⊥β，α∩β=PQ，BO?α，∴BO⊥β．
过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，
由三垂线定理知，BH⊥AC．
故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．
由（1）知，CO⊥α，∴∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，
在Rt△AEM，则AO=

3

，OH=AOsin30°=

3

2

．
在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，∴BO=AO=

3

，
于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=

BO

OH

=2．
故二面角B-AC-P的正切值为2．

点评：本题考查了线面与面面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、二面角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．