Question

已知函数f（x）=3x³-x+1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求切于点（1，3）的切线方程；
（3）求函数f（x）在[-1，

1

3

]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调递减区间；
（2）利用导数的几何意义即可求切于点（1，3）的切线方程；
（3）根据函数最值和导数之间的关系即可求函数f（x）在[-1，

1

3

]上的最大值与最小值．

解答： 解：（1）函数的导数为f′（x）=9x²-1，
令9x2-1＜0⇒-

1

3

＜x＜

1

3

，递减区间为：(-

1

3

，

1

3

)；
（2）k=f′（1）=8，
则切线方程为：y-3=8（x-1），
即8x-y-5=0
（3）当x变化时，y'与y的变化情况如下：

x	[-1，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
y'	+	0	-	0	+
y	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴ymax=f(-

1

3

)=

11

9

，而f(-1)=-1，f(

1

3

)=

7

9

，
∴y_min=f（-1）=-1．

点评：本题主要考查函数的切线以及函数的单调性和最值的求解，根据导数的几何意义以及导数的应用是解决本题的关键．