Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对于任意的n∈N^*，点（S_n，n）都在函数y=log_b（x-r）（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记b_n=

n+1

8an

，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）若对一切的正整数n，总有T_n＞m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）把点（S_n，n）代入函数y=log_b（x-r）得到函数递推式，求得首项a₁，再求出当n≥时的通项公式，由首项适合通项公式求得r的值；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

n+1

8an

，利用错位相减法求得数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）由错差法判断数列{T_n}为递增数列，求出其最小值，由T_n＞m求得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由已知可得，n=log_b（S_n-r），
∴Sn-r=bn，即Sn=bn+r．
∴a₁=b+r．
当n≥2，an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1)．
∵{a_n}是等比数列，
∴b+r=b^1-1•（b-1），即r=-1；
（2）由（1）可知，
an=(b-1)•bn-1，
又b=2，
∴b_n=

n+1

8an

=

n+1

8•2n-1

．
∴Tn=

1

8

(

2

1

+

3

2

+

4

22

+…+

n

2n-2

+

n+1

2n-1

)．
∴

1

2

Tn=

1

8

(

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

)．
作差得：

1

2

Tn=

1

8

(2+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

)．
∴Tn=

1

4

[2+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n

]=

1

4

(2+1-

1

2n-1

-

n+1

2n

)；
（3）∵Tn+1-Tn=

3

4

-

n+4

2n+3

-

3

4

+

n+3

2n+2

=

n+2

2n+3

＞0，
∴T_n+1＞T_n，
∴数列{T_n}为增函数，
∴当n=1时，T_n取得最小值

1

4

．
∴对一切的正整数n，总有T_n＞m成立的实数m的取值范围是m＜

1

4

．

点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了利用数列的单调性求数列的最值，是压轴题．