Question

在△ABC中，a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若a=4，且

π

6

≤A≤

π

3

，求边c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，与已知等式结合整理后求出tanB的值，根据B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数；
（2）利用正弦定理表示出c，根据A的范围利用正弦函数值域即可确定出c的范围．

解答： 解：（1）由余弦定理，可得a²+c²-b²=2accosB …（2分）
又a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB…（3分）
所以可得tanB=

3

…（5分）
又∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

；…（7分）
（2）由正弦定理，

c

sin(A+B)

=

a

sinA

…（9分）
得c=

4sin(A+ π 3 )

sinA

=2+

2 3

tanA

…（11分）
又

π

6

≤A≤

π

3

，故tanA∈[

3

3

，

3

]…（12分）
∴c∈[4，8]…（13分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．