题目内容
在平面直角坐标系xOy中．已知向量
、
，|
|=|
|=1，
•
=0，点Q满足
=2
（
+
），曲线C={P|
=
cosθ+
sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤|
|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| OQ |
| 2 |
| a |
| b |
| OP |
| a |
| b |
| PQ |
| A、3＜r＜5＜R |
| B、3＜r＜5≤R |
| C、0＜r≤3＜R＜5 |
| D、3＜r＜R＜5 |
考点：曲线与方程
专题：平面向量及应用
分析：设
=（1，0），
=（0，1），得出P点的轨迹是单位圆，Ω={P|（0＜r≤|
|≤R，r＜R}表示的平面区域是以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，根据圆圆相交得到答案．
| a |
| b |
| PQ |
若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，根据圆圆相交得到答案．
解答：
解：在平面直角坐标系xOy中，向量
、
满足|
|=|
|=1，
•
=0，
不妨设
=（1，0），
=（0，1），
则
=2
（
+
）=（2
，2
），
=
cosθ+
sinθ=（cosθ，sinθ），0≤θ≤2π；
∴P点的轨迹是单位圆，
Ω={P|（0＜r≤|
|≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环；
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
∴|OQ|-1＜r＜R＜|OQ|+1；
又∵|OQ|=4，
∴3＜r＜R＜5．
故选：D．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
不妨设
| a |
| b |
则
| OQ |
| 2 |
| a |
| b |
| 2 |
| 2 |
| OP |
| a |
| b |
∴P点的轨迹是单位圆，
Ω={P|（0＜r≤|
| PQ |
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环；
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
∴|OQ|-1＜r＜R＜|OQ|+1；
又∵|OQ|=4，
∴3＜r＜R＜5．
故选：D．
点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是得出点P的轨迹以及Ω={P|（0＜r≤|
|≤R，r＜R}表示的平面区域，是较难的题目．
| PQ |
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
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|
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