Question

设数列{a_n}的前n项的和S_n，已知a₁=1，2S_n=na_n+1-

1

3

n³-n²-

2

3

n，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）证明：数列{

an

n

}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1，即可求a₂的值；
（2）根据递推数列，结合等差数列的定义即可证明数列{

an

n

}是等差数列，
（3）求出

1

an

的通项公式，利用放缩法以及裂项法，即可证明不等式

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

7

4

成立．

解答： 解：（1）依题意：当n=1时，2S₁=a₂-

1

3

-1-

2

3

，
解得：a₂=4，
（2）证明：∵a₁=1，2S_n=na_n+1-

1

3

n³-n²-

2

3

n，n∈N^*．
当n≥2，则2S_n-1=（n-1）a_n-

1

3

（n-1）³-（n-1）²-

2

3

（n-1），
两式相减得：2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-

1

3

（3n²-3n+1）-（2n-1）-

2

3

，
整理得：（n+1）a_n=na_n+1-n（n+1），
则

an

n

=

an+1

n+1

-1，
即

an+1

n+1

-

an

n

=1，n≥2．
又

a2

2

-

a1

1

=1，对任意n≥1都有

an+1

n+1

-

an

n

=1，
故数列{

an

n

}是以1为首项1为公差的等差数列，
所以

an

n

=1+（n-1）×1=n，则a_n=n²．
（3）证明：由（2）得：a_n=n²，
则

1

an

=

1

n2

，
∵

1

an

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≤1+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-2)(n-1)

+

1

(n-1)n

＜

5

4

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=

5

4

+

1

2

-

1

n

=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．所以得证．

点评：本题主要考查数列递推公式的应用，根据递推数列结合等差数列的定义求出通项公式，利用放缩法是证明不等式的基本方法．