题目内容
设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）a=1时，函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）a=1时，函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断
专题：导数的综合应用
分析：（1）通过求导，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的单调区间；（2）将a=1代入函数表达式，通过求导得到函数的极值，解不等式组，求出即可．
解答：
解：（1）f'（x）=3x2+2ax-a2=（3x-a）•（x+a）
令f'（x）＞0，
得x＞
或x＜-a
∴增区间为：(
，+∞)、(-∞，-a)；
（2）当a=1时，f'（x）=（3a-1）•（x+1）
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表：
∴当x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=m+1，
∴当x=
时，f（x）取极小值f(
)=m-
，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴
，
∴-1＜m＜
∴m∈(-1，
)．
令f'（x）＞0，
得x＞
| a |
| 3 |
∴增区间为：(
| a |
| 3 |
（2）当a=1时，f'（x）=（3a-1）•（x+1）
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表：
| x | （-∞，-1） | -1 | (-1，
|
| (
| ||||||
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 单调递增↗ | 单调递减↘ | 单调递增↗ |
∴当x=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 27 |
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴
|
∴-1＜m＜
| 5 |
| 27 |
∴m∈(-1，
| 5 |
| 27 |
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数中参数的范围，属于中档题．
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