Question

3．已知命题p：“函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在（-∞，+∞）上是增函数”，命题q：“曲线$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{1+m}=1$表示椭圆”，若“￢p∨￢q”是假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q成立的m的范围，根据“￢p∨￢q”是假命题，得到“p∧q”是真命题，求出m的范围即可．

解答 解：若关于命题p：“函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在（-∞，+∞）上是增函数”，为真命题；
对f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2求导，得：f′（x）=x²-2（4m-1）x+（15m²-2m-7），
已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在（-∞，+∞）上是增函数，
故f′（x）≥0，
即求使x²-2（4m-1）x+（15m²-2m-7）≥0的m的取值范围，
可以看出函数开口向上，使△≤0即可，
对[-2（4m-1）]²-4（15m²-2m-7）≤0求解，得：2≤m≤4．
若关于命题q：“曲线$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{1+m}=1$表示椭圆”，为真命题；
则$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{5-m＞0}{1+m＞0}}\\{5-m≠1+m}\end{array}\right.$，解得：-1＜m＜5，且m≠2，
由题意知，命题“￢p∨￢q”为假，其否定为“p∧q”，是真命题．
所以由$\left\{\begin{array}{l}{2≤m≤4}\\{-1＜m＜5，m≠2}\end{array}\right.$，解得：m∈（2，4]．
可得：实数m的取值范围是：（2，4]．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查椭圆和二次函数的性质，是一道基础题．