Question

13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：

零件的个数x（个）	2	3	4	5
加工的时间y（小时）	2.5	3	4	4.5

（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
（可能用到的公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$x，其中$\hat a$、$\hat b$是对回归直线方程$\hat y=a+bx$中系数a、b按最小二乘法求得的估计值）

Answer 1

分析 （1）根据表中所给的数据，可得散点图；
（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=10代入回归直线方程，可得结论．

解答 解：（1）散点图如下图．

（2）由表中数据得$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}=52.5$，
$\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4{x_i}=3.5$，
$\overline{y}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4{y_i}=3.5$，
$\sum_{i=1}^4{x_i^2}=54$
所以$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}}=\frac{52.5-4×3.5×3.5}{{54-4×{{3.5}^2}}}=0.7$，
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=3.5-0.7×3.5=1.05$
因此$\hat y=0.7x+1.05$回归直线如图中所示
（3）将x=10代入回归直线方程，得$\hat y=0.7×10+1.05=8.05$（小时），
∴预测加工10个零件需要8.05小时

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．