题目内容
11．
如图，某城市有一个边长为4百米的正方形休闲广场，广场中间阴影部分是一个雕塑群．建立坐标系（单位：百米），则雕塑群的左上方边缘曲线AB是抛物线y2=4x（1≤x≤3，y≥0）的一段．为方便市民，拟建造一条穿越广场的直路EF（宽度不计），要求直路EF与曲线AB相切（记切点为M），并且将广场分割成两部分，其中直路EF左上部分建设为主题陈列区．记M点到OC的距离为m（百米），主题陈列区的面积为S（万平方米）．（1）当M为EF中点时，求S的值；
（2）求S的取值范围．
分析 （1）M（m，2$\sqrt{m}$），${y}^{'}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，切线方程为y-2$\sqrt{m}$=$\frac{1}{\sqrt{m}}$（x-m），从而求出点E（0，$\frac{4}{3}$），F（$\frac{32}{9}$，4），由此能求出当M为EF中点时，S的值．
（2）点E（0，$\sqrt{m}$），F（4$\sqrt{m}$-m，4），直路EF左上部分为△CEF，S=$\frac{1}{2}（m\sqrt{m}-8m+16\sqrt{m}）$，1≤m≤3，令t=$\sqrt{m}$，设S=f（t）=$\frac{1}{2}$（t3-8t2+16t），求出导数，利用导数的性质能求出S的取值范围．
解答 解：（1）∵直路EF与曲线AB：y2=4x（1≤x≤3，y≥0）相切（记切点为M），M点到OC的距离为m（百米），
∴M点坐标为M（m，2$\sqrt{m}$），
曲线AB方程为y=2$\sqrt{x}$，（1≤x≤3），
∴${y}^{'}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，切线方程为y-2$\sqrt{m}$=$\frac{1}{\sqrt{m}}$（x-m），
则点E（0，$\sqrt{m}$），F（4$\sqrt{m}$-m，4），
∵M为EF中点，∴$\sqrt{m}+4=4\sqrt{m}$，即$\sqrt{m}=\frac{4}{3}$，
∴点E（0，$\frac{4}{3}$），F（$\frac{32}{9}$，4），
此时S=$\frac{1}{2}×\frac{32}{9}×（4-\frac{4}{3}）$=$\frac{128}{27}$．
（2）由（1）知点E（0，$\sqrt{m}$），F（4$\sqrt{m}$-m，4），
∵${x}_{F}-4=4\sqrt{m}-m-4$=-（$\sqrt{m}-2$）2＜0，∴xF＜4，
又${y}_{E}=\sqrt{m}$＞0，∴直路EF左上部分为△CEF，
S=$\frac{1}{2}CF•CE$=$\frac{1}{2}（4\sqrt{m}-m）（4-\sqrt{m}）$=$\frac{1}{2}（m\sqrt{m}-8m+16\sqrt{m}）$，1≤m≤3，
令t=$\sqrt{m}$，则1$≤t≤\sqrt{3}$，设S=f（t）=$\frac{1}{2}$（t3-8t2+16t），
${f}^{'}（t）=\frac{1}{2}（3{t}^{2}-16t+16）=\frac{1}{2}（3t-4）（t-4）$，
当1$≤t＜\frac{4}{3}$时，f′（t）＞0，当$\frac{4}{3}＜t≤\sqrt{3}$时，f′（t）＜0，
∴${S}_{max}=f（t）_{max}=f（\frac{4}{3}）=\frac{128}{27}$，
∵f（$\sqrt{3}$）=$\frac{19\sqrt{3}-24}{2}$＜f（1）=$\frac{9}{2}$，
∴S的取值范围为（$\frac{19\sqrt{3}-24}{2}$，$\frac{128}{27}$]．
点评 本题考查面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质、导数的几何意义、换元法、导数性质的合理运用．
