Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=1，点M是棱PC上的一点，且AM⊥PB．
（Ⅰ）求三棱锥C-PBD的体积；
（Ⅱ）证明：AM⊥平面PBD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先求三棱锥P-BCD的高为PA=1，S△BCD=

1

2

，即可求三棱锥C-PBD的体积V_C-PBD=V_P-BCD．
（Ⅱ）先证明PA⊥BD，BD⊥AC，即可证明BD⊥平面PAC，从而可证BD⊥AM，又AM⊥PB，即可证明AM⊥平面PBD．

解答： 解：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD，PA=1，即三棱锥P-BCD的高为PA=1，S△BCD=

1

2

，…2分
所以，三棱锥C-PBD的体积V_C-PBD=V_P-BCD，…4分
=

1

3

AP•S_△BCD=

1

6

…6分
（Ⅱ）由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，…7分
设AC，BD的交点为O，
由正方形知，BD⊥AC，…8分
所以，BD⊥平面PAC，…9分
从而，BD⊥AM…10分
又AM⊥PB，所以，AM⊥平面PBD…12分

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的求法，考察了转化思想，属于中档题．