Question

己知 定义在R上的函数，当x∈[0，2]时，f（x）=8（1-|x-1|），且对于任意的实数x∈[2ⁿ-2，2ⁿ⁺¹-2]（n∈N，且n≥2），都有f（x）=

1

2

f（

x

2

-1），若函数g（x）=f（x）-log_ax有且只有三个零点，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分别作出函数f（x）和y=log_ax的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：当x∈[0，2]时，f（x）=8（1-|x-1|），
当n=2时，x∈[2，6]，此时

x

2

-1∈[0，2]，则f（x）=

1

2

f（

x

2

-1）=

1

2

×8（1-|

x

2

-1-1|）=4（1-|

x

2

-2|），
当n=3时，x∈[6，14]，此时

x

2

-1∈[2，6]，则f（x）=

1

2

f（

x

2

-1）=

1

2

×4（1-|

x

4

-

5

2

|）=2（1-|

x

4

-

5

2

|），
由g（x）=f（x）-log_ax=0，得f（x）=log_ax，分别作出函数f（x）和y=log_ax的图象，
若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．
若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B时，两个函数有4个交点，
则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，
∵f（4）=4，f（10）=2，∴A（4，2），B（10，2），
即满足

loga4＜f(4) loga10＞f(10)

，
即

loga4＜4 loga10＞2

，解得

a4＞4 a2＜10

，
即2＜a²＜10，
∵a＞1，
∴

2

＜a＜

10

，
故则a的取值范围为是（

2

，

10

），
故答案为：（

2

，

10

）

点评：本题主要考查分段函数的应用，利用函数零点和方程之间的关系，将条件转化为两个函数交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一点的难度．