Question

若椭圆与双曲线有共同的焦点F₁（-

13

，0），F₂（

13

，0），椭圆的长轴等于双曲线实轴长的2倍，点P是两条曲线在第一象限内的公共点，且∠F₁PF₂=120°，则PF₁=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可得c=

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，设椭圆的长轴为2a₁，双曲线的实轴为2a₂，则a₁=2a₂，运用椭圆和双曲线的定义，可得PF₁=a₁+a₂，PF₂=a₁-a₂，由余弦定理可得a₂=2，a₁=4，即可得到所求值．

解答： 解：由题意可得c=

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，
设椭圆的长轴为2a₁，双曲线的实轴为2a₂，
则a₁=2a₂，
由椭圆的定义可得，PF₁+PF₂=2a₁，
由双曲线的定义可得，PF₁-PF₂=2a₂，
则有PF₁=a₁+a₂，PF₂=a₁-a₂，
再由余弦定理可得，F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂cos120°，
即有4×13=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²+（a₁+a₂）（a₁-a₂），
即为3a₁²+a₂²=52，则13a₂²=52，解得，a₂=2，a₁=4，
则有PF₁=a₁+a₂=6．
故答案为：6．

点评：本题考查双曲线和椭圆的定义和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．