Question

已知f（x）=3cos（2x-

π

3

）
（1）求y=f（x）的振幅和周期；
（2）求y=f（x）在[0，

π

2

]上的最大值及取最大值时x的值；
（3）若f（α）+f（

π

2

）=0，求α

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据振幅和周期的定义即可求出求y=f（x）的振幅和周期；
（2）利用三角函数的最值性质即可求y=f（x）在[0，

π

2

]上的最大值及取最大值时x的值；
（3）根据f（α）+f（

π

2

）=0，进行化简即可求α．

解答： 解：（1）函数的y=f（x）的振幅为3，周期T=

2π

2

=π；
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
则cos

2π

3

≤cos（2x-

π

3

）≤cos0，
即-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1，
则-

3

2

≤3cos（2x-

π

3

）≤3，
即y=f（x）在[0，

π

2

]上的最大值为3，此时2x-

π

3

=0，即x=

π

6

；
（3）若f（α）+f（

π

2

）=0，
则3cos（2α-

π

3

）+3cos（2×

π

2

-

π

3

）=0，
即3cos（2α-

π

3

）+3cos

2π

3

=0，
即cos（2α-

π

3

）=

1

2

，
则2α-

π

3

=

π

3

+2kπ或2α-

π

3

=-

π

3

+2kπ，k∈Z，
即α=

π

3

+kπ或α=kπ，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．