Question

（1）在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列．求d，a_n；     
（2）已知等差数列{b_n}的前n项和为S_n，b₅=5，S₅=15，则数列{

1

bnbn+1

}100项和为．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式及前n项和可得b_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列，
∴(2a2+2)2=5a1a3，
即4（10+d+1）=50（10+2d），
化为d²-3d-4=0d，
解得d=4或-1．
当d=4时，a_n=10+4（n-1）=4n+6；
当d=-14时，a_n=10-（n-1）=11-n．
（2）∵等差数列{b_n}的前n项和为S_n，b₅=5，S₅=15，
∴15=

5(b1+5)

2

，解得b₁=1．
∴b₅=b₁+4d′，解得公差d′=1．
∴b_n=1+n-1=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{

1

bnbn+1

}的前100项和=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

100

-

1

101

)=1-

1

101

=

100

101

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．