Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，B=45°，向量

m

=（-1，1），

n

=（cosBcosC，sinBsinC-

3

2

，且

m

⊥

n

，
（Ⅰ）求A的大小；   
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（I）由

m

⊥

n

，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式求得cos(B+C)=-

3

2

，再根据cos（B+C）=-cosA，求得A的值．
（II）由条件求得C=105°，利用两角和的正弦公式求得cos105°的值，再利用正弦定理求得c的值，可得△ABC的面积

1

2

ac•sinB的值．

解答： 解：（I）∵且

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=-cosBcosC+sinBsinC-

3

2

=0，即cosBcosC-sinBsinC=-

3

2

，∴cos(B+C)=-

3

2

．
∵A+B+C=180°，∴cos（B+C）=-cosA，∴cosA=

3

2

，所以A=30°．
（II）∵A=30°，a=1，B=45°，∴C=105°．
又sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=

6 + 2

4

．
由正弦定理得c=

asinC

sinA

=

1•sin105°

sin30°

=

6 + 2

2

，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

6 + 2

2

×

2

2

=

3 +1

4

．

点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，以及正弦定理、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．