Question

已知a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是递增的等差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-

1

2

b_n（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是递增的等差数列，可得a₂=3，a₅=9，利用等差数列的通项公式即可得出a_n．
对于数列{b_n}，S_n=1-

1

2

b_n（n∈N⁺）．当n=1时，b1=1-

1

2

b1，解得b₁．当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）c_n=a_nb_n=

2(2n-1)

3n

=

4n-2

3n

，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）解方程x²-12x+27=0，可得x=3或9，∵a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{a_n}是递增的等差数列，∴a₂=3，a₅=9，
设公差为d，则

a1+d=3 a1+4d=9

，解得a₁=1，d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
对于数列{b_n}，S_n=1-

1

2

b_n（n∈N⁺）．当n=1时，b1=1-

1

2

b1，解得b₁=

2

3

．当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=(1-

1

2

bn)-(1-

1

2

bn-1)，化为bn=

1

3

bn-1，因此数列{b_n}是等比数列，∴b_n=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

．（2）c_n=a_nb_n=

2(2n-1)

3n

=

4n-2

3n

，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=

2

3

+

6

32

+

10

33

+…+

4(n-1)-2

3n-1

+

4n-2

3n

，∴3T_n=2+

6

3

+

10

32

+…+

4n-2

3n-1

，两式相减可得：2T_n=2+

4

3

+

4

32

+

4

3n-1

-

4n-2

3n

=

4(1- 1 3n )

1- 1 3

-2-

4n-2

3n

=4-

4n+4

3n

，∴T_n=2-

2n+2

3n

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．