Question

某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为3元，并且每件商品需向总店交a（1≤a≤3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7≤x≤9）元时，一年的销售量为（10-x）²万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；
（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）首先，根据利润函数，建立利润函数解析式，写出函数的定义域；
（2）先求解L'（x），然后，令导数为0，求解极值点，然后，对极值点的取值进行讨论，从而求解最大值．

解答： 解：（1）由题得该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的解：
函数关系式为 L（x）=（x-3-a）（10-x）²，x∈[7，9]，
（2）L'（x）=（x-10）（3x-2a-16），
令L'（x）=0，得x=

2a+16

3

或x=10，
∵1≤a≤3，∴6≤

2a+16

3

≤

22

3

．
①当

2a+16

3

≤7时，即1≤a≤

5

2

时，
当 x∈[7，9]时，L'（x）≤0，L（x）在x∈[7，9]上单调递减，
故L（x）_max=L（7）=36-9a，
②当

2a+16

3

＞7时，即

5

2

＜a≤3时，
x∈[7，

2a+16

3

]时，L'（x）＞0；x∈[

2a+16

3

，9]时，L'（x）＜0，
∴L（x）在x∈[7，

2a+16

3

]上单调递增；在x∈[

2a+16

3

，9]上单调递减，
故L(x)max=L(

2a+16

3

)=

4

27

(7-a)3，
答：当1≤a≤

5

2

，每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为36-9a万元；
当

5

2

＜a≤3每件商品的售价为

2a+16

3

元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为

4

27

(7-a)3万元．

点评：本题综合考查了函数的综合运用，利用导数求解函数的最值问题等知识，属于中档题．