Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，且|F₁F₂|=2．以O为圆心，a为半径作圆，若过点P（

a2

c

，0）的圆的两切线互相垂直，切点分别为A、B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线l与该椭圆交于M，N两点，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，

a2

c

=

2

a，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F₂（1，0），设直线方程为y=k（x+1），设M(x1，y1 )，N(x2，y2)，联立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此利用根与系数的关系结合题设条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，椭圆的半焦距c=1，
∵过点P（

a2

c

，0）的圆O：x²+y²=a²的两条切线互相垂直，
∴四边形OAPB为正方形，
∴

a2

c

=

2

a，∴a=

2

，
由a2 =b2+c2，知b²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F₂（1，0），
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
将x=-1代入椭圆方程得y=±

2

2

．
设M（-1，

2

2

），N（-1，-

2

2

），
∴

F2M

+

F2N

=（-2，

2

2

），N（-1，-

2

2

），
∴

F2M

+

F2N

=（-2，

2

2

）+（-2，-

2

2

）=（-4，0），
∴|

F2M

+

F2N

|=4，与题设矛盾，
∴直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线方程为y=k（x+1），
设M(x1，y1 )，N(x2，y2)，
联立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由根与系数的关系知x1+x2=

-4k2

1+2k2

，
从而y1+y2=k(x1+x2+2)=

2k

1+2k2

，
又∵

F2M

=(x1 -1，y1)，

F2N

=(x2-1，y2)，
∴|

F2M

+

F2N

|2=（x₁+x₂-2）²+（y₁+y₂）²
=（

8k2+2

1+2k2

）²+（

2k

1+2k2

）²
=

4(16k4+9k2+1)

4k4+4k2+1

，
∴

4(16k4+9k2+1)

4k4+4k2+1

=（

2 26

3

）²，
化简，得40k⁴-23k²-17=0，
解得k²=1，或k2=-

17

40

，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=x+1或y=-x-1．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，考查推理论证能力、考查运算求解能力，考查函数与方程思想，解题时要认真审题，注意根与系数的关系的合理运用．