Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2013^x+log₂₀₁₃x，则方程f（x）=0的实数根的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、5

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据奇函数的性质，得到f（0）=0，然后，当x＞0时，在同一坐标系内画出函数y=-2013^x y=log₂₀₁₃x，可以得到图象有一个交点，得到方程有一个实根，然后，根据对称性得到相应的方程的根的个数．

解答： 解：∵在R上的奇函数f（x），
∴f（0）=0，
∴x=0是方程f（x）=0的一个实根，
当x＞0时，f（x）=2013^x+log₂₀₁₃x=0，
∴-2013^x=log₂₀₁₃x，
设函数y=-2013^x y=log₂₀₁₃x，
在同一坐标系中作出它们的图象如下：

∴当x＞0时，该方程有一个实根，
又∵函数为奇函数，
∴它们的图象关于坐标原点对称，
∴当x＜0时，该方程也有一个实根，
总之，该方程有三个实根，
故选：C

点评：本题综合考查了函数为奇函数及其性质，属于中档题，掌握数形结合思想在求解问题中的灵活运用．