题目内容

（1）求曲线y=
2x
x2+1
在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为S=
t-1
t2
+2t2，求t=3时的速度．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决；
（2）先求运动曲线方程为S=
t-1
t2
+2t2，的导数，再求得t=3秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．
解答： 解：（1）∵y=
2x
x2+1
，∴y′=
2-2x2
(x2+1)2
，
∴x=1时，y′=0，
∴曲线y=
2x
x2+1
在点（1，1）处的切线方程为y=1；
（2）∵运动曲线方程为S=
t-1
t2
+2t2，
∴S′=-
1
t2
+
2
t3
+4t
∴该质点在t=3秒的瞬时速度为-
1
9
+
2
27
+12=11
26
27
米/秒．
点评：本小题主要考查导数的物理意义、导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知扇形的圆心角为
π
3
，它的半径r=3，则该扇形的面积为（　　）
A、3π
B、
9
2
π
C、
3
2
π
D、
2
3
π
已知函数f（x）=
lnx
x
的图象为曲线C．
（1）求曲线C：y=f（x）在点A（1，0）处的切线l的方程．
（2）证明：除切点（1，0）之外，切线l在曲线C的上方．
已知函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，且f（-x）=-f（x），f（1）=1，当a，b∈[-1，1]且a+b≠0，时
f(a)+f(b)
a+b
＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性；
（2）解不等式f(x+
1
2
)＜f(
1
x-1
)；
（3）若f（x）＜m2-2am+1对于所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
已知函数f(x)=x-
1
x
-alnx
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆x2+y2-2y=0相切，求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在坐标轴x轴的上方，试求出a的取值范围．
求下列函数的导数．
（1）y=2xsin（2x-5）
（2）f（x）=ln
x2+1

（3）y=
2x
x2+1
．
已知函数f（x）=sinωx•cosωx+
3
cos2ωx-
3
2
（ω＞0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
π
4
．
（Ⅰ）求f（x）在x∈[-π，0]的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移
π
8
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，
π
2
]上有解，求实数k的取值范围．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=9-an，bn=3-2log3an．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
b n
a n
，求数列{cn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）证明：当n≥2时，a2nbn＜1．
定义：在平面内，点M到定圆C的圆周上任意一点的距离的最小值称为点M到定圆C的“美好距离”，若定圆P的方程：x2+y2+2x-3=0，平面内的动点F到定点A的距离等于F到定圆P的美好距离，则动点F的轨迹可能为：①椭圆②圆③双曲线的一支④直线⑤抛物线，其中可能的序号是
 
（写出所有可能的序号）．

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