Question

已知幂函数y=f（x）经过点（2，

1

8

）．
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．

Answer 1

考点：幂函数的性质,奇偶性与单调性的综合,幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用待定系数法即可求函数解析式；
（2）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．

解答： 解：（1）由题意，得f（2）=2^a=

1

8

＜a=-3，
故函数解析式为f（x）=x^-3．
（2）∵f（x）=x^-3=

1

x3

，
∴要使函数有意义，则x≠0，
即定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
∵f（-x）=（-x）^-3=-x^-3=-f（x），
∴该幂函数为奇函数． 
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f（x）=x^-3．在（0，+∞）为减函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴在（-∞，0）函数也为减函数，
故其单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）．

点评：本题主要考查幂函数的性质的综合应用，根据条件求出幂函数的解析式是解决本题的关键．