Question

3．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），给出以下四个论断：
①它的周期为π；
②它的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称；
③它的图象关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称；
④在区间（-$\frac{π}{6}$，0）上是增函数，
以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题，条件①②结论③④．（注：填上你认为正确的一种答案即可）

Answer 1

分析 若 ①f（x）的周期为π，则 函数f（x）=sin（2x+φ），若再由②，可得φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），显然能推出③④成立．

解答 解：若①f（x）的周期为π，则ω=2，函数f（x）=sin（2x+φ）．
若再由②f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，则sin（2×$\frac{π}{12}$+φ） 取最值，
又∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$．
此时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），③④成立，
故由①②可以推出 ③④成立．
故答案为：①②，③④．另：①③⇒②④也正确．

点评 本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键．