Question

14．已知函数$f（x）=\sqrt{a{x^2}+bx}$满足：对于实数a的某些值，可以找到相应正数b，使得f（x）的定义域与值域相同，那么符合条件的实数a的个数是2．

Answer 1

分析 由于函数解析式中，被开方式是一个类一元二次式，故我们可分a=0，a＞0和a＜0，三种情况，分别分析是否存在正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同，进而综合讨论结果，即可得到答案．

解答 解：（1）若a=0，则对于每个正数b，f（x）=$\sqrt{bx}$的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件．
（2）若a＞0，则对于正数b，$f（x）=\sqrt{a{x^2}+bx}$的定义域为D=（-∞，-$\frac{b}{a}$]∪[0，+∞），
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合条件；
（3）若a＜0，则对正数b，定义域D=[0，-$\frac{b}{a}$]，（f（x））_max=$\frac{b}{2\sqrt{-a}}$，
f（x）的值域为[0，$\frac{b}{2\sqrt{-a}}$]，则-$\frac{b}{a}$=$\frac{b}{2\sqrt{-a}}$?$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{2\sqrt{-a}=-a}\end{array}\right.$．
综上所述：a的值为0或-4．
故答案为2．

点评 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数的值域，二次函数的图象和性质，其中熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答本题的关键，解答中易忽略a=0时，也满足条件，而错解为a=-4．