Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁与侧面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2$\sqrt{3}$．
（1）求证：AB₁⊥CC₁；
（2）若AB₁=3$\sqrt{2}$，A₁C₁的中点为D₁，求二面角C-AB₁-D₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁，则△ACC₁，△B₁C₁C都是正三角形，取CC₁中点O，连结OA，OB₁，则CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，由此能证明CC₁⊥AB₁．
（2）分别以OB₁，OC₁，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AB₁-D₁的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC₁，则△ACC₁，△B₁C₁C都是正三角形，
取CC₁中点O，连结OA，OB₁，
则CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，
∵OA∩OB₁=O，∴CC₁⊥平面OAB₁，
∵AB₁?平面OAB₁，∴CC₁⊥AB₁．
解：（2）由（1）知OA=OB₁=3，
又AB₁=3$\sqrt{2}$，∴OA²+OB₁²=AB₁²，
∴OA⊥OB₁，OA⊥平面B₁C₁C，
如图，分别以OB₁，OC₁，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，-$\sqrt{3}$，0），B₁（3，0，0），A（0，0，3），C₁（0，$\sqrt{3}$，0），A₁（0，2$\sqrt{3}$，3），D₁（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设平面CAB₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（3，0，-3），$\overrightarrow{AC}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=3x-3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{3}y-3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（$1，-\sqrt{3}，1$），
设平面AB₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
∵$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-3，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}b-\frac{3}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=-3a+\frac{3\sqrt{3}}{2}b+\frac{3}{2}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$，
由图知二面角C-AB₁-D₁的平面角为钝角，
∴二面角C-AB₁-D₁的余弦值为-$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．