Question

16．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过圆心O的割线PBC交圆O于点B，C，AC=AP，则$\frac{PC}{AC}$的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，根据AC=AP得到∠APC=∠C，利用∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得∠C．利用直角三角形中正切的定义，得到$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{tan30°}$=$\sqrt{3}$．最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CA}{AB}$=$\sqrt{3}$．

解答 解：∵PA是切线，AB是弦，
∴∠BAP=∠C．
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴∠C=∠APC=∠BAP=$\frac{1}{3}×90°$=30°．
在Rt△ABC中，$\frac{CA}{AB}$=$\frac{1}{tan30°}$=$\sqrt{3}$．
∵在△APC与△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CA}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∵AC=AP，∴$\frac{PC}{AC}$=$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．