Question

5．已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）
（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[-1，$\frac{1}{2}$]上的最大值和最小值；
（3）若函数f（x）在区间[-1，$\frac{1}{2}$]上不具有单调性，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（x）=0有两个不相等的实数根，根据△＞0，求出a的范围即可；
（2）根据f′（1）=0，求出a，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；
（3）若函数f（x）在区间[-1，$\frac{1}{2}$]上不具有单调性，得到f′（x）在[-1，$\frac{1}{2}$]有解，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²+1）（x+a）=x³+ax²+x+a，
∴f′（x）=3x²+2ax+1，
若函数f（x）在R上存在极值，
则f′（x）=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a²-12＞0，解得：a＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$；
（2）f′（x）=3x²+2ax+1，若f′（1）=0，
即3+2a+1=0，解得：a=-2，
∴f′（x）=（3x-1）（x-1），
x∈[-1，$\frac{1}{2}$]时，x-1＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{3}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{3}$，
∴f（x）在[-1，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{50}{27}$，f（x）_min=f（-1）=-6；
（3）由（1）得：f′（x）=3x²+2ax+1，对称轴x=-$\frac{a}{3}$，
若函数f（x）在区间[-1，$\frac{1}{2}$]上不具有单调性，
则f′（x）在[-1，$\frac{1}{2}$]有解，而f（0）=1＞0，
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{-1＜-\frac{a}{3}＜0}\\{f（-\frac{a}{3}）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}≤-1}\\{f（-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\sqrt{3}$＜a＜3或a≥3，
故a＞$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．