Question

6．已知函数f（x）=|x-2|+2|x+a|（a＞0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞8；
（2）若不等式f（x）≥3在（-∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）按照x≤-1，-1＜x≤2，x＞2三种情况进行讨论，去掉绝对值符号可解不等式，注意三种情况要对x的范围取并集；
（Ⅱ）f（x）≥3即|x-2|+2|x-a|≥3，求出f（x）的最小值是a+2，得到a+2≥3，解出即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|x-2|+2|x+1|，
①当x≤-1时，f（x）=2-x-2（x+1）=-3x，
由f（x）＞8，得-3x＞8，解得x＜-$\frac{8}{3}$；
②-1＜x≤2时，f（x）=2-x+2（x+1）=x+4，
由f（x）＞8，得x＞4，
∴此时不等式无解；
③当x＞2时，f（x）=x-2+2（x+1）=3x，
由f（x）＞8，得3x＞8，解得x＞$\frac{8}{3}$；
综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，-$\frac{8}{3}$）∪（$\frac{8}{3}$，+∞）．
（2）∵a＞0，∴-a＜0＜2，
f（x）=|x-2|+2|x+a|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2-2a，x≤-a}\\{x+2a+2，-a＜x＜2}\\{3x-2+2a，x≥2}\end{array}\right.$，
∴f（x）_min=f（-a）=a+2，
f（x）≥3即a+2≥3，解得：a≥1．

点评 对于含有绝对值的题目，本身就是分类的，问题的提出已包含了分类的原因．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，在高考试题中占有重要的位置．