Question

已知函数f（x）=

2

sin（x+φ），0＜φ＜

π

2

，且f（0）=1．
（1）求φ的值及函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知f（α-

π

4

）=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，f（β+

π

4

）=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，求cos（α+β）值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据条件f（0）=1即可求φ的值，利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据条件求出sinα，cosα，sinβ，cosβ，利用两角和差的余弦公式进行求解即可．

解答： 解：（1）∵f（0）=1，
∴f（0）=

2

sinφ=1，
即sinφ=

2

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

4

，
则f（x）=

2

sin（x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z；
（2）∵f（α-

π

4

）=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，f（β+

π

4

）=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，
∴f（α-

π

4

）=

2

sinα=

4 2

5

，

π

2

＜α＜π，
即sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

由f（β+

π

4

）=

2

sin（β+

π

4

+

π

4

）=

2

cosβ=-

12 2

13

，

π

2

＜β＜π，
则cosβ=-

12

13

，sinβ=

5

13

，
则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

12

13

×（-

3

5

）-

4

5

×

5

13

=

16

65

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及两角和差的余弦公式的应用，考查学生的运算能力．