Question

已知函数f﹙x﹚=3sin﹙2x+φ﹚﹙φ∈﹙0，

π

2

﹚﹚，其图象向左平移

π

6

后，关于y轴对称．
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）如果该函数表示一个振动量，指出其振幅，频率及初相，并说明其图象是怎样由y=sinx的图象得到的．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：解：（1）根据所给图象向左平移

π

6

后得到的函数为偶函数，确定φ=

π

6

，从而确定其解析式；
（2）直接求解其振幅，频率及初相，然后，结合函数图象变换进行说明．

解答： 解：（1）∵f﹙x﹚=3sin﹙2x+φ﹚，
其图象向左平移

π

6

后，得到
f（x）=3sin[2（x+

π

6

）+φ]
=3sin（2x+

π

3

+φ）
∴f（x）=3sin（2x+

π

3

+φ）
∵f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）为偶函数，
∴

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ+

π

6

，k∈Z，
∵φ∈﹙0，

π

2

﹚，
∴φ=

π

6

，
∴函数f（x）的解析式；f（x）=3sin（2x+

π

6

）．
（2）根据（1）得
振幅为3，周期为T=π，
频率为

1

π

，初相

π

6

，
首先由y=sinx上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数y=3sinx，
然后，再将所得的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=3sin（x+

π

6

）的图象，
然后，将该图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，
得到函数f（x）=3sin（2x+

π

6

）的图象．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质，三角函数图象变换等知识，属于容易题，解题关键是分清构成三角函数中各个参数的取值情况．