Question

讨论函数f（x）=axe-x（a≠0）在区间[2，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：f（x）=axe-x=aelnxe-x=aee-xlnx，
令u=e^-xlnx，则函数f（x）是由函数y=ae^u，与函数u═e^-xlnx复合而成，
由复合函数的单调性判断函数f（x）的单调性．

解答： 解：f（x）=axe-x=aelnxe-x=aee-xlnx，
令u=e^-xlnx，则函数f（x）是由函数y=ae^u，与函数u═e^-xlnx复合而成，
∵u′=-e-xlnx+

1

x

e-x=e^-x（

1

x

-lnx），
∵（

1

x

-lnx）′=-

1

x2

-

1

x

在[2，+∞）上恒为负值，∴（

1

x

-lnx）在[2，+∞）上递减，
∵（

1

x

-lnx）＜

1

2

-ln2=

1-2ln2

2

=

1-ln4

2

＜0，∴u′=-e-xlnx+

1

x

e-x=e^-x（

1

x

-lnx）＜0，
∴函数u═e^-xlnx在[2，+∞）上递减，
∵当a＞0时，函数y=ae^u递增，∴由复合函数的单调性知函数f（x）在区间[2，+∞）上递减；
∵当a＜0时，函数y=ae^u递减，∴由复合函数的单调性知函数f（x）在区间[2，+∞）上递增．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，同时把函数的表达式恒等变形是解题的关键．