Question

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为

3 2

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀）为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；
（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线l₁，l₂，求l₁，l₂交点M满足的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

|0-c-2|

2

=

3 2

2

，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设P（x₀，x₀-2），设切点为（x，

x2

4

），曲线C：y=

x2

4

，y′=

x

2

，从而x²-2x₀x+4x₀-8=0，由此能求出直线AB为x₀x-2y-2y₀=0，并能证明直线AB过定点Q（2，2）．
（Ⅲ）设A（x₁，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），从而求出交点M（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）设过Q点的直线为y=k（x-2）+2联立

y=k(x-2)+2 x2=4y

，得x²-4kx+8k-8=0，由此能求出点M满足的轨迹方程为x-y-2=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C的焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x-y-2=0的距离为

3 2

2

，
∴

|0-c-2|

2

=

3 2

2

，
解得c=1或c=-5，（舍），
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（Ⅱ）设P（x₀，x₀-2），设切点为（x，

x2

4

），曲线C：y=

x2

4

，y′=

x

2

，
则切线的斜率为

x2 4 -(x0-2)

x-x0

=y′=

x

2

，
化简，得x²-2x₀x+4x₀-8=0，
设A（x₁，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），则x₁，x₂是以上方程的两根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4x₀-8，
k_AB=

x12 4 - x22 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

，
直线AB为：y-

x12

4

=

x1+x2

4

(x-x1)，
化简，得：x₀x-2y-2y₀=0，定点Q（2，2）．
（Ⅲ）设A（x₁，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），
过A的切线y=

x1

2

（x-x₁）+

x12

4

，
过B的切线y=

x2

2

（x-x₂）+

x22

4

，
交点M（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）
设过Q点的直线为y=k（x-2）+2
联立

y=k(x-2)+2 x2=4y

，得x²-4kx+8k-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-2，
∴M（2k，2k-2），
∴y=x-2．
∴点M满足的轨迹方程为x-y-2=0．

点评：本题考查抛物线C的方程的求法，考查直线AB的方程的求法，考查直线AB过定点Q的证明，考查两切线交点M满足的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．