Question

已知二次函数f（x）=x²-2ax+b
（1）若f（x）满足f（x）=f（2-x），且方程有两个相等的实数根，求函数的解析式；
（2）所函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]（a＞1），求实数a的值；
（3）若f（x）在（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁、x₂∈[1，a+1]总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=f（2-x）可得函数关于x=1对称，结合二次函数的对称轴求得a的值，再由判别式等于0求得b，则函数解析式可求；
（2）由a＞1可得f（x）=x²-2ax+b在[1，a]上单调递减，由此列不等式组

f(1)=(1-a)2+b-a2=a f(a)=b-a2=1

，求解不等式组的a的值；
（3）由f（x）在（-∞，2]上是减函数求得a的范围，然后求出函数在[1，a+1]上的最大值和最小值，由最大值和最小值的差小于等于4可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）满足f（x）=f（2-x），
∴其对称轴方程为x=a=1，
又方程有两个相等的实数根，则（-2a）²-4b=0，即b=1．
∴函数的解析式为f（x）=x²-2x+1；
（2）∵f（x）=x²-2ax+b=（x-a）²+b-a²（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是减函数，定义域和值域均为[1，a]，
∴

f(1)=(1-a)2+b-a2=a f(a)=b-a2=1

，解得a=2；
（3）f（x）在（-∞，2]上是减函数，则a≥2，
又x=a∈[1，a+1]，且（a+1）-a≤a-1，
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f(x)min=f(a)=5-a2，
∵对任意的x₁、x₂∈[1，a+1]总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴f（x）_max-f（x）_min≤4，
即（6-2a）-（5-a²）≤4，（a-1）²≤4，
解得：-1≤a≤3，
又a≥2，
∴2≤a≤3．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了二次函数的性质，考查了数学转化思想方法，关键是对二次函数性质的应用，是中档题．