Question

14．若实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 利用条件x+2y+3z=1，构造柯西不等式（4x+3y+12z）²≤（x²+y²+z²）（4²+3²+12²），变形即可得答案．

解答 解：根据题意，实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，
则有（4x+3y+12z）²≤（x²+y²+z²）（4²+3²+12²），
即1≤169（x²+y²+z²），
即有x²+y²+z²≥$\frac{1}{169}$；
即x²+y²+z²的最小值为$\frac{1}{169}$；
故答案为：$\frac{1}{169}$．

点评 本题考查柯西不等式的应用，关键是熟练掌握柯西不等式的形式及变形应用．