Question

3．设函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$的图象为C₁，将C₁向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到图象C₂，C₂对应的函数为g（x）．
（1）求g（x）的解析式与值域；
（2）若直线y=x+m与C₂有两个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$向右平移2个单位可得：2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$，再向上平移4个单位，可得：：2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$+4=g（x）．即可求解值域．
（2）化简g（x），直线y=x+m与C₂有两个不同的交点，组成方程组，消去y，利用判别式可得答案．

解答 解：（1）由函数f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，向右平移2个单位可得：2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$，再向上平移4个单位，
可得：：2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$+4=g（x）．即g（x）的解析式为：g（x）=2x+$\frac{1}{x-2}$
根据不等式的性质：
当x＞2时，g（x）=2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$+4≥2$\sqrt{2}+4$
当x＜2时，g（x）=2（x-2）+$\frac{1}{x-2}$+4≤-2$\sqrt{2}+4$
∴函数g（x）的值域为（-∞，4-2$\sqrt{2}$]∪[4+2$\sqrt{2}$，+∞）
（2）由（1）可得g（x）=2x+$\frac{1}{x-2}$
直线y=x+m与C₂有两个不同的交点：
联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+\frac{1}{x-2}}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y．可得：x²-（2+m）x+2m+1=0
∵△＞0，即m²-4m-4＞0
可得：$m＜2-2\sqrt{2}$或$m＞2+2\sqrt{2}$
故得m的取值范围是{m|$m＜2-2\sqrt{2}$或$m＞2+2\sqrt{2}$}．

点评 本题考查了函数解析式的求法，函数值域求法，本题也利用基本不等式研究函数值域，判别式求解范围问题，本题方法灵活，难度不大，属于中档题．