Question

19．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．
（1）若PH=20，求tan∠APB的值；
（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？

Answer 1

分析 （1）计算tan∠APH与tan∠BPH的值，利用两角差的正切公式求出tan∠APB的值；
（2）设PH=x，x∈（0，100），计算tan∠APH、tan∠BPH的值，求出tan∠APB的解析式，利用基本不等式求出它的最大值即可．

解答 解：（1）AB=8，AH=40-4=36，PH=20，
∴tan∠APH=$\frac{36}{20}$=$\frac{9}{5}$，
tan∠BPH=$\frac{36+8}{20}$=$\frac{11}{5}$，
∴tan∠APB=tan（∠BPH-∠APH）
=$\frac{\frac{11}{5}-\frac{9}{5}}{1+\frac{11}{5}×\frac{9}{5}}$
=$\frac{5}{62}$；
即PH=20，tan∠APB的值为$\frac{5}{62}$；
（2）设PH=x，x∈（0，100），
∴tan∠APH=$\frac{36}{x}$，tan∠BPH=$\frac{44}{x}$，
∴tan∠APB=tan（∠BPH-∠APH）
=$\frac{\frac{44}{x}-\frac{36}{x}}{1+\frac{44}{x}•\frac{36}{x}}$
=$\frac{8x}{{x}^{2}+44×36}$
=$\frac{8}{x+\frac{44×36}{x}}$≤$\frac{8}{2\sqrt{x•\frac{44×36}{x}}}$
=$\frac{4}{12\sqrt{11}}$
=$\frac{\sqrt{11}}{33}$，当且仅当x=12$\sqrt{11}$时取“=”；
∴当运动员P沿着边线带球行进时，离AB所在直线的距离为12$\sqrt{11}$码开始射门进球的可能性会最大．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与应用问题，是综合题．